习题 12, § 6

考虑一个实数或复数完全可规范空间 E 和 E 的封闭向量子空间 F，使得 $F^0$ 不承认 $E'$ 中的拓扑补充。†

(a) 设 A（分别 B）是 E（分别 F）的连续自同态的完全可范空间。令C为$u \in A$的集合，使得$u(F) \subset F$。设$\alpha$为C的映射$u \mapsto (u, u|F)$到$A \times B$。那么$\alpha$是完全可规范空间C到$A \times B$的闭向量子空间的同构，并且$\alpha(C)$在$A \times B$中不允许拓扑补充。 （令 $x \in E$ 使得 $x \notin F$。令

† 令$c_0$（分别$l^1, l^\infty$）为实数或复数序列 $(x, x_2, \ldots)$ 满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$（分别$\sum_n |x_n| < +\infty$、$\sup_n |x_n| < +\infty$）和范数的Banach 空间 $\|x\| = \sup_n |x_n|$（分别$\sum_n |x_n|$，分别$\sup_n |x_n|$）。存在$l^1$到$c_0$的连续态射$\pi$；设 F 为其核。那么$(c_0)' = l^1$就被识别为$F^0$。但是$l^\infty$不能可数型向量子空间是$l^\infty$中的拓扑直因子（cf.A. Grothendieck，Sur les applications lineéaires faiblement compes d’espaces du） 型 $C(K)$，Can. J. Math.，5 (1953)，p. 169)。

$\xi \in F^0$使得$\langle x, \xi \rangle = 1$。如果$\eta \in E'$，令$\tilde{\eta}$表示A的元素$y \mapsto \langle y, \eta \rangle x$。假设$\alpha(C)$上存在$A \times B$的投影算子$\pi$。我们定义$\tilde{\pi}: E' \to E'$到$\tilde{\pi}(\eta) = t(\alpha^{-1}(\pi(\tilde{\eta}, 0)))(\xi)$。那么$\tilde{\pi}$就是$E'$到$F^0$的投影算子，这是荒谬的。）

(b) 单位实数或复数完全范数代数 M 的构造如下： $M = \bigoplus_{i=0}^\infty M_i$ 由 $M_i$ 分级； $M_0$ 是 1 的标量倍数的集合； $M_1$ 是非零元素 u 的标量倍数的集合； $M_2 = \{0\}$； $M_3 = F$； $M_4 = E$； $M_i = \{0\}$ 为 $i \geq 5$； $ux = x$ 对于所有$x \in M_3$。令 N 为完全可范空间 M 的连续自同态的完全可范空间。令 $N_1$ 为 M 的连续推导的集合。使用 (a) 显示 $N_1$ 在 N 中没有拓扑补充。

(c) 证明M的双连续自同构的群是$\mathbf{GL}(M)$的李准子群，但不是$\mathbf{GL}(M)$的李子群。 （使用推论 2 至命题 18 和 (b)。）