习题 2, § 6

令 G 为 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ 的通用覆盖，$\pi$ G 到 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ 的规范态射，N 为核。 (a) 如习题 1 所示，证明实解析流形 $\mathbf{U} \times \mathbf{R}^2$ 存在同构到实解析流形 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$。推出 N 与 $\mathbf{Z}$ 同构的。

(b) 如果 $\rho$ 是复数向量空间上 $G$ 的解析线性表示，则$\mathrm{Ker}\,\rho \supset N$。 （$\mathfrak{sl}(2, \mathbf{R})$定义的表示$L(\rho)$，通过复化，$\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$的表示，后者通过习题1，形式$L(\sigma)$，其中$\sigma$是解析线性表示 / $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$。然后是$L(\sigma \circ \pi) = L(\rho)$，因此$\sigma \circ \pi = \rho$。）