Exercice 2, § 6

Soient $G$ le revêtement universel de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$, $\pi$ le morphisme canonique de $G$ sur $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$, $N$ son noyau. a) En raisonnant comme dans l’exerc. 1, montrer qu’il existe un isomorphisme de la variété analytique réelle $\mathbf{U} \times \mathbf{R}^2$ sur la variété analytique réelle $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$. En déduire que $N$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$. b) Si $\rho$ est une représentation linéaire analytique de $G$ dans un espace vectoriel complexe, on a $\mathrm{Ker}\, \rho \supset N$. (La représentation $L(\rho)$ de $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{R})$ définit, par complexification, une représentation de $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$, et cette dernière est, d’après l’exerc. 1, de la forme $L(\sigma)$ où $\sigma$ est une représentation linéaire analytique de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$. On a $L(\sigma \circ \pi) = L(\rho)$, donc $\sigma \circ \pi = \rho$.)