Bài tập 2, § 6

Cho G là phủ phổ quát của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$, $\pi$ là cấu xạ chính tắc của G lên $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ và N là hạt nhân của nó. (a) Lập luận như trong Bài tập 1, chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu của đa tạp giải tích thực $\mathbf{U} \times \mathbf{R}^2$ lên đa tạp giải tích thực $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$. Suy ra rằng N đẳng cấu với $\mathbf{Z}$.

(b) Nếu $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của $G$ trên một không gian vectơ phức, thì $\mathrm{Ker}\,\rho \supset N$. (Biểu diễn $L(\rho)$ của $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{R})$ xác định, bằng phép phức hóa, một biểu diễn của $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$ và biểu diễn sau, theo Bài tập 1, có dạng $L(\sigma)$, trong đó $\sigma$ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$. Khi đó $L(\sigma \circ \pi) = L(\rho)$ và do đó $\sigma \circ \pi = \rho$.)