习题 16, § 6

(a) 设 $g$ 为复数李代数。令 $\overline{g}$ 为使用 $\mathbf{C}$ 的自同构 $\lambda \mapsto \overline{\lambda}$ 从 $g$ 导出的复数李代数。令 $g_0$ 为从 $g$ 通过限制标量导出的实数李代数。令 $g' \supset g_0$ 为复数李代数 $g_0 \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$。对于所有$x \in g$，我们写

证明$f$（或$g$）是$g$（或$\bar{g}$）的同构到$g'$的理想$m$（或$n$），并且理想$m, n$是$g'$的补充。将$g'$的定义投影算子转移到$m, n$。证明，对于所有 $x \in g$、$f(x) = p(x)$、$g(x) = q(x)$。

(b) 假设 $g$ 是有限维的。 设$G$为李群与李代数$g$的单连通复形。 令$\overline{G}$为共轭复数李群，而$G_0$为底层实李群。 然后是$L(\overline{G}) = \bar{g}$和$L(G_0) = g_0$。 令$M$（或$N$）为单连通复形李群与李代数$m$（或$n$）。 然后将$G$的$f$定义同构$\phi$到$M$，$g$定义同构$\gamma$到$\overline{G}$到$N$以及单连通复形李群 $G'$ 与李代数 $g'$ 被识别为$M \times N$。 证明$G'$与李代数$g_0$的实积分子群是闭单连通的，并用$G_0$标识。 $\mathrm{pr}_1$（或$\mathrm{pr}_2$）的限制至$G \subset M \times N$是$G$（或$\overline{G}$）到$M$（或$N$）的同构$\phi$（或$\gamma$）。

(c) 由(b)和no. 10的注2推导出$G'$，加上$G_0$的典范嵌入入$G'$，是$G_0$的万复化。

(d) 令 $H$ 为与李代数 $g$、$\overline{H}$ 共轭李群和$H_0$ 底层实李群相连的复合体李群，使得 $G$ 为通用覆盖空间 $H$。 令$K$为$G$的规范态射到$H$的（离散）核。 证明$K$是$G'$的中心子群。 将$G_0$的典范嵌入放入$G'$，因此将$H_0$的定义单射$i$放入$G'/N$。 证明$(G'/N, i)$是$H_0$的万能复化。 （注这个有序对有泛性质命题20。）

(e) 我们写$G'/N = (H_0)_c$。从 (d) 将 $(H_0)_c$ 的规范态射 $\psi$ 推导出到$H \times \overline{H}$，这是映射的覆盖。通过例$H = \mathbf{C}^*$证明$\psi$不是一般的同构。