Bài tập 16, § 6

(a) Cho $g$ là một đại số Lie phức. Cho $\overline{g}$ là đại số Lie phức dẫn xuất từ $g$ bằng cách sử dụng tự đẳng cấu $\lambda \mapsto \overline{\lambda}$ của $\mathbf{C}$. Cho $g_0$ là đại số Lie thực dẫn xuất từ $g$ bởi hạn chế vô hướng. Cho $g' \supset g_0$ là đại số Lie phức $g_0 \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$. Với mọi $x \in g$, ta viết

Chứng minh rằng $f$ (tương ứng $g$) là một đẳng cấu của $g$ (tương ứng $\bar{g}$) lên một iđêan $m$ (tương ứng $n$) của $g'$ và rằng các iđêan $m, n$ là phụ nhau trong $g'$. Điều này xác định các phép chiếu của $g'$ lên $m, n$. Chứng minh rằng, với mọi $x \in g$, $f(x) = p(x)$, $g(x) = q(x)$.

(b) Giả sử rằng $g$ là hữu hạn chiều. Cho $G$ là nhóm Lie phức đơn liên có đại số Lie là $g$. Cho $\overline{G}$ là nhóm Lie phức liên hợp và $G_0$ là nhóm Lie thực nền. Khi đó $L(\overline{G}) = \bar{g}$ và $L(G_0) = g_0$. Cho $M$ (tương ứng $N$) là nhóm Lie phức đơn liên có đại số Lie là $m$ (tương ứng $n$). Khi đó $f$ xác định một đẳng cấu $\phi$ của $G$ lên $M$, $g$ xác định một đẳng cấu $\gamma$ của $\overline{G}$ lên $N$ và nhóm Lie phức đơn liên $G'$ với với đại số Lie $g'$ được đồng nhất với $M \times N$. Chứng minh rằng nhóm con nguyên thực của $G'$ có đại số Lie $g_0$ là đóng và đơn liên, và được đồng nhất với $G_0$. Hạn chế của $\mathrm{pr}_1$ (tương ứng $\mathrm{pr}_2$) lên $G \subset M \times N$ là đẳng cấu $\phi$ (tương ứng $\gamma$) của $G$ (tương ứng $\overline{G}$) lên $M$ (tương ứng $N$).

(c) Suy ra từ (b) và Nhận xét 2 của no. 10 rằng $G'$, với đơn ánh chính tắc của $G_0$ vào $G'$, là phép phức hóa phổ quát của $G_0$.

(d) Cho $H$ là một nhóm Lie phức liên thông với đại số Lie $g$, $\overline{H}$ là nhóm Lie phức liên hợp và $H_0$ là nhóm Lie thực nền, sao cho $G$ là không gian phủ phổ quát của $H$. Cho $K$ là hạt nhân (rời rạc) của cấu xạ chính tắc của $G$ lên $H$. Chứng minh rằng $K$ là một nhóm con trung tâm của $G'$. Do đó, đơn ánh chính tắc của $G_0$ vào $G'$ xác định một đơn ánh $i$ của $H_0$ vào $G'/N$. Chứng minh rằng $(G'/N, i)$ là phép phức hóa phổ quát của $H_0$. (Chú ý rằng cặp có thứ tự này có tính chất phổ quát của Mệnh đề 20.)

(e) Ta viết $G'/N = (H_0)_c$. Suy ra từ (d) một cấu xạ chính tắc $\psi$ của $(H_0)_c$ lên $H \times \overline{H}$, là một ánh xạ phủ. Chứng minh, bằng ví dụ $H = \mathbf{C}^*$, rằng $\psi$ nói chung không phải là một đẳng cấu.