Exercice 16, § 6

a) Soit g une algèbre de Lie complexe. Soit $\bar{g}$ l’algèbre de Lie complexe déduite de g à l’aide de l’automorphisme $\lambda \mapsto \bar{\lambda}$ de $\mathbf{C}$. Soit $g_0$ l’algèbre de Lie réelle déduite de g par

avec la norme $\|x\| = \sup_n |x_n|$ (resp. $\sum_n |x_n|$, resp. $\sup_n |x_n|$). Il existe un morphisme continu $\pi$ de $l^1$ sur $c_0$; soit F son noyau. Alors $(c_0)' = l^1$ s’identifie à $F^0$. Or un sous-espace vectoriel de type dénombrable de $l^\infty$ ne peut être facteur direct topologique dans $l^\infty$ (cf. A. GROTHENDIECK, Sur les applications linéaires faiblement compactes d’espaces du type $C(K)$, Can. J. Math., t. V (1953), p. 169).

restriction des scalaires. Soit $g' \supset g_0$ l’algèbre de Lie complexe $g_0 \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$. Pour tout $x \in g$, on pose

Montrer que $f$ (resp. $g$) est un isomorphisme de $g$ (resp. $\bar{g}$) sur un idéal $m$ (resp. $n$) de $g'$, et que les idéaux $m, n$ sont supplémentaires dans $g'$. Cela définit des projecteurs $p, q$ de $g'$ sur $m, n$. Montrer que, pour tout $x \in g$, on a $f(x) = p(x), g(x) = q(x)$. b) On suppose $g$ de dimension finie. Soit $G$ le groupe de Lie complexe simplement connexe d’algèbre de Lie $g$. Soient $\bar{G}$ le groupe de Lie complexe conjugué, $G_0$ le groupe de Lie réel sous-jacent. On a $L(\bar{G}) = \bar{g}$, $L(G_0) = g_0$. Soit $M$ (resp. $N$) le groupe de Lie complexe simplement connexe d’algèbre de Lie $m$ (resp. $n$). Alors $f$ définit un isomorphisme $\varphi$ de $G$ sur $M$, $g$ définit un isomorphisme $\gamma$ de $\bar{G}$ sur $N$, et le groupe de Lie complexe simplement connexe $G'$ d’algèbre de Lie $g'$ s’identifie à $M \times N$. Montrer que le sous-groupe intégral réel de $G'$ d’algèbre de Lie $g_0$ est fermé, simplement connexe et s’identifie à $G_0$. La restriction à $G \subset M \times N$ de $pr_1$ (resp. $pr_2$) est l’isomorphisme $\varphi$ (resp. $\gamma$) de $G$ (resp. $\bar{G}$) sur $M$ (resp. $N$). c) Déduire de b) et de la Remarque 2 du n° 10 que $G'$, muni de l’injection canonique de $G_0$ dans $G'$, est la complexification universelle de $G_0$. d) Soient $H$ un groupe de Lie complexe connexe d’algèbre de Lie $g$, $\bar{H}$ le groupe de Lie complexe conjugué, $H_0$ le groupe de Lie réel sous-jacent, de sorte que $G$ est le revêtement universel de $H$. Soit $K$ le noyau (discret) du morphisme canonique de $G$ sur $H$. Montrer que $K$ est un sous-groupe central de $G'$. L’injection canonique de $G_0$ dans $G'$ définit donc une injection $i$ de $H_0$ dans $G'/N$. Montrer que $(G'/N, i)$ est la complexification universelle de $H_0$. (Remarquer que ce couple possède la propriété universelle de la prop. 20.) e) On pose $G'/N = (H_0)_\mathbf{C}$. Déduire de d) un morphisme canonique $\psi$ de $(H_0)_\mathbf{C}$ sur $H \times \bar{H}$, qui est un revêtement. Montrer, par l’exemple $H = \mathbf{C}^*$, que $\psi$ n’est pas un isomorphisme en général.