习题 18, § 9

设G是连通的实李群，Z是中心，Z_0是Z的单位分量，G的g李代数和g的$\mathfrak{z}$中心。那么 Z 和 Z_0 是 G 的李拟子群，其中李代数 $\mathfrak{z}$ (习题 3)。 g 上可接受的范数是范数定义 g 的拓扑并使 g 成为标准化的李代数。

(a) 对于所有$r > 0$和$z \in \mathfrak{z}$，g上存在可接受的范数，其在z处的值<r。 （令 q 为 g 上可接受的范数。表明，对于适当选择的 $\lambda > 0$，函数 $x \mapsto \|x\| = \lambda q(x) + \inf_{y \in \mathfrak{z}} q(x + y)$ 具有所需的属性。）

(b) 证明以下条件是等价的： (i) $Z_0$ 是单连通的； (ii) 对于g上每个可接受的范数，$\exp_G$的限制到中心0且半径$\pi$的开球是内射的； (iii) 存在$r > 0$，使得对于g 上的每个可接受的范数，$\exp_G$ 的限制对于中心 0 的开球且半径r 是内射的。

（要证明 (iii) $\Rightarrow$ (i)，请使用 (a)。要证明 (i) $\Rightarrow$ (ii)，假设 x、y 在 g、$\|x\| < \pi$、$\|y\| < \pi$、$x \neq y$、$\exp_G x = \exp_G y$ 中。然后 $\exp \operatorname{ad} x = \exp \operatorname{ad} y$ 以及$\operatorname{ad} x = \operatorname{ad} y$ § 6 的命题 17 应用于 g 的复数，因此 $\mathfrak{z}$ 中存在非零 z，使得 $\exp_G z = e$ 为假。）

(c) 通过考虑习题 13 (b) 的群 $G'$，证明如果将 $\pi$ 替换为数 $> \pi$，则 (b) 的结论不再成立。 （在习题 13 的记号中，在$L(G')$ 上使用范数 $ae_1 + be_2 + ce_3 \mapsto (a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{1}{2}}$。）