Bài tập 18, § 9

Cho G là một nhóm Lie thực liên thông, Z là tâm của nó, Z_0 là thành phần đơn vị của Z, g là đại số Lie của G và $\mathfrak{z}$ là tâm của g. Khi đó Z và Z_0 là các nhóm con giả Lie của G với đại số Lie $\mathfrak{z}$ (Bài tập 3). Một chuẩn chấp nhận được trên g là một chuẩn xác định tôpô của g và làm cho g thành một đại số Lie định chuẩn.

(a) Với mọi $r > 0$ và $z \in \mathfrak{z}$, tồn tại một chuẩn chấp nhận được trên g có giá trị tại z là <r. (Cho q là một chuẩn chấp nhận được trên g. Chứng minh rằng, với một $\lambda > 0$ được chọn thích hợp, hàm $x \mapsto \|x\| = \lambda q(x) + \inf_{y \in \mathfrak{z}} q(x + y)$ có các tính chất cần thiết.)

(b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $Z_0$ đơn liên thông; (ii) với mọi chuẩn chấp nhận được trên g, hạn chế của $\exp_G$ lên hình cầu mở tâm 0 bán kính $\pi$ là đơn ánh; (iii) tồn tại $r > 0$ sao cho, với mọi chuẩn chấp nhận được trên g, hạn chế của $\exp_G$ lên hình cầu mở tâm 0 bán kính r là đơn ánh.

(Để chứng minh (iii) $\Rightarrow$ (i), sử dụng (a). Để chứng minh (i) $\Rightarrow$ (ii), giả sử rằng x, y thuộc g, $\|x\| < \pi$, $\|y\| < \pi$, $x \neq y$, $\exp_G x = \exp_G y$. Khi đó $\exp \operatorname{ad} x = \exp \operatorname{ad} y$ và do đó $\operatorname{ad} x = \operatorname{ad} y$ theo Mệnh đề 17 của § 6 áp dụng cho một phức hóa của g. Suy ra tồn tại một z khác không trong $\mathfrak{z}$ sao cho $\exp_G z = e$; từ đó suy ra rằng (i) là sai.)

(c) Bằng cách xét nhóm $G'$ của Bài tập 13 (b), chứng minh rằng kết luận của (b) không còn đúng nếu $\pi$ được thay bởi một số $> \pi$. (Theo ký hiệu của Bài tập 13, sử dụng chuẩn $ae_1 + be_2 + ce_3 \mapsto (a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{1}{2}}$ trên $L(G')$.)