Exercice 18, § 9

Soient G un groupe de Lie réel connexe, Z son centre, Z₀ la composante neutre de Z, g l’algèbre de Lie de G, $\mathfrak{G}$ le centre de g. Alors Z et Z₀ sont des quasi-sous-groupes de Lie de G d’algèbre de Lie $\mathfrak{G}$ (exerc. 3). Appelons norme acceptable sur g une norme définissant la topologie de g et faisant de g une algèbre de Lie normée. a) Quels que soient r > 0 et $z \in \mathfrak{G}$, il existe une norme acceptable sur g dont la valeur en z est < r. (Soit q une norme acceptable sur g. Montrer que, pour λ > 0 bien choisi, la fonction $x \mapsto \|x\| = \lambda q(x) + \inf_{y \in \mathfrak{G}} q(x + y)$ possède les propriétés requises.) b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: (i) Z₀ est simplement connexe; (ii) quelle que soit la norme acceptable sur g, la restriction de exp_G à la boule ouverte de centre 0 et de rayon π est injective; (iii) il existe r > 0 tel que, quelle que soit la norme acceptable sur g, la restriction de exp_G à la boule ouverte de centre 0 et de rayon r est injective. (Pour prouver (iii) ⇒ (i), utiliser a). Pour prouver (i) ⇒ (ii), supposons x, y dans g, $\|x\| < \pi, \|y\| < \pi, x \neq y, \exp_G x = \exp_G y$. Alors exp ad x = exp ad y, donc ad x = ad y d’après la prop. 17 du § 6 appliquée dans une complexification de g. Donc il existe z non nul dans $\mathfrak{G}$ tel que exp_G z = e; il en résulte que (i) est en défaut.) c) En considérant le groupe G' de l’exerc. 13 b), montrer que la conclusion de b) devient inexacte si on remplace π par un nombre > π. (Avec les notations de l’exerc. 13, utiliser la norme $ae_1 + be_2 + ce_3 \mapsto (a^2 + b^2 + c^2)^{1/2}$ sur L(G').)