习题 14, § 6

令 $a_1$ 为交换律李代数 $\mathbf{R}^4$，用 $\mathbf{C}^2$ 标识。令 $a_2$ 为可交换的李代数 $\mathbf{R}$。让$\phi$是$a_2$的同态到$\mathrm{Der}(a_1)$，其中映射1到推导$(z_1, z_2) \mapsto (iz_1, i\sqrt{2}z_2)$。令a为$a_2$乘$a_1$相应的到$\phi$的半直接乘积。

(a) 证明 $(\mathrm{Int}\, a) | a_1$ 包含，对于所有 $\phi \in \mathbf{R}$，自同构

(b) 对于所有$(\phi, \phi') \in \mathbf{R}^2$、自同构 $(z_1, z_2) \mapsto (e^{i\phi} z_1, e^{i\phi'} z_2)$，证明$(\mathrm{Int}\, a) | a_1$在$\mathbf{GL}(a_1)$包含中的闭包G。

(c) 证明 $a_1$ 的$L(G)$ 包含自同态 $u : (z_1, z_2) \mapsto (z_1, 0)$ 并且不存在$x \in a$ 使得$u = (\mathrm{ad}\, x) | a_1$。

(d) 推出$\mathrm{Int}(a)$在$\mathrm{Aut}(a)$中不闭。