Exercice 14, § 6

Soit $a_1$ l’algèbre de Lie commutative $\mathbf{R}^4$, identifiée à $\mathbf{C}^2$. Soit $a_2$ l’algèbre de Lie commutative $\mathbf{R}$. Soit $\varphi$ l’homomorphisme de $a_2$ dans $\mathrm{Der}(a_1)$ qui transforme 1 en la dérivation $(z_1, z_2) \mapsto (iz_1, i\sqrt{2} z_2)$. Soit $a$ le produit semi-direct de $a_2$ par $a_1$ correspondant à $\varphi$. a) Montrer que $(\mathrm{Int}\, a)|a_1$ contient, pour tout $\varphi \in \mathbf{R}$, l’automorphisme

b) Montrer que l’adhérence G de $(\mathrm{Int}\, a)|a_1$ dans $\mathbf{GL}(a_1)$ contient, pour tout $(\varphi, \varphi') \in \mathbf{R}^2$, l’automorphisme $(z_1, z_2) \mapsto (e^{i\varphi}z_1, e^{i\varphi'}z_2)$. c) Montrer que $L(G)$ contient l’endomorphisme $u: (z_1, z_2) \mapsto (z_1, 0)$ de $a_1$, et qu’il n’existe aucun $x \in a$ tel que $u = (\mathrm{ad}\, x)|a_1$. d) En déduire que $\mathrm{Int}(a)$ n’est pas fermé dans $\mathrm{Aut}(a)$.