Bài tập 14, § 6

Cho $a_1$ là đại số Lie giao hoán $\mathbf{R}^4$, được đồng nhất với $\mathbf{C}^2$. Cho $a_2$ là đại số Lie giao hoán $\mathbf{R}$. Cho $\phi$ là đồng cấu của $a_2$ vào $\mathrm{Der}(a_1)$, biến 1 thành đạo hàm $(z_1, z_2) \mapsto (iz_1, i\sqrt{2}z_2)$. Cho a là tích nửa trực tiếp của $a_2$ bởi $a_1$ tương ứng với $\phi$.

(a) Chứng minh rằng $(\mathrm{Int}\, a) | a_1$ chứa, với mọi $\phi \in \mathbf{R}$, tự đẳng cấu

(b) Chứng minh rằng bao đóng G của $(\mathrm{Int}\, a) | a_1$ trong $\mathbf{GL}(a_1)$ chứa, với mọi $(\phi, \phi') \in \mathbf{R}^2$, tự đẳng cấu $(z_1, z_2) \mapsto (e^{i\phi} z_1, e^{i\phi'} z_2)$.

(c) Chứng minh rằng $L(G)$ chứa tự đồng cấu $u : (z_1, z_2) \mapsto (z_1, 0)$ của $a_1$ và không tồn tại $x \in a$ sao cho $u = (\mathrm{ad}\, x) | a_1$.

(d) Suy ra rằng $\mathrm{Int}(a)$ không đóng trong $\mathrm{Aut}(a)$.