习题 6, § 6

令 $I$ 为带有离散拓扑的区间 $[1, 2]$。令 $E$ 为函数 $f : I \to \mathbf{R}$ 的完整范数空间，使得 $\|f\| = \sum_{i \in I} |f(i)| < +\infty$。对于所有$x \in I$，令$\varepsilon_x$为$E$的元素，使得$\varepsilon_x(t) = 0$适用于$t \neq x$和$\varepsilon_x(x) = 1$。设$P$为$x\varepsilon_x$与$x \in I$生成的$E$的子群；它是 $E$ 的离散子群。设$G$为李群$E/P$。令$F$为$f \in E$的$E$由……组成之超平面，使得$\sum_{i \in I} f(i) = 0$。设$H$为李群$F/(F \cap P)$。令$\phi$为$H$到$G$的规范态射。证明 $\phi$ 是双射且是沉浸，但不是李群同构。 （令 $f$ 为 $E$ 上的线性形式和核 $F$；证明$f(P) = \mathbf{R}$，从而证明 $F + P = E$。）推导出在命题 3 中，可数性假设不能被省略。