Bài tập 6, § 6

Cho $I$ là khoảng $[1, 2]$ với tôpô rời rạc. Cho $E$ là không gian định chuẩn đầy đủ của các hàm $f : I \to \mathbf{R}$ sao cho $\|f\| = \sum_{i \in I} |f(i)| < +\infty$. Với mọi $x \in I$, cho $\varepsilon_x$ là phần tử của $E$ sao cho $\varepsilon_x(t) = 0$ với $t \neq x$ và $\varepsilon_x(x) = 1$. Cho $P$ là nhóm con của $E$ sinh bởi các $x\varepsilon_x$ với $x \in I$; nó là một nhóm con rời rạc của $E$. Cho $G$ là nhóm Lie $E/P$. Cho $F$ là siêu phẳng của $E$ gồm các $f \in E$ sao cho $\sum_{i \in I} f(i) = 0$. Cho $H$ là nhóm Lie $F/(F \cap P)$. Cho $\phi$ là cấu xạ chính tắc của $H$ vào $G$. Chứng minh rằng $\phi$ là song ánh và là một phép nhúng nhưng không phải là một đẳng cấu nhóm Lie. (Cho $f$ là một dạng tuyến tính trên $E$ có hạt nhân $F$; chứng minh rằng $f(P) = \mathbf{R}$ và do đó $F + P = E$.) Suy ra rằng trong Mệnh đề 3 giả thiết về tính đếm được không thể được bỏ qua.