Exercice 6, § 6

Soit I l’intervalle $[1, 2]$ muni de la topologie discrète. Soit E l’espace normé complet des fonctions $f : I \to \mathbf{R}$ telles que $\|f\| = \sum_{i \in I} |f(i)| < +\infty$. Pour tout $x \in I$, soit $\varepsilon_x$ l’élément de E tel que $\varepsilon_x(t) = 0$ pour $t \neq x$ et $\varepsilon_x(x) = 1$. Soit P le sous-groupe de E engendré par les $x \varepsilon_x$ pour $x \in I$; c’est un sous-groupe discret de E. Soit G le groupe de Lie E/P. Soit F l’hyperplan de E formé des $f \in E$ tels que $\sum_{i \in I} f(i) = 0$. Soit H le groupe de Lie F/(F ∩ P). Soit $\varphi$ le morphisme canonique de H dans G. Montrer que $\varphi$ est bijectif, est une immersion, mais n’est pas un isomorphisme de groupes de Lie. (Soit $f$ une forme linéaire sur E de noyau F; montrer que $f(P) = \mathbf{R}$, donc que $F + P = E$.) En déduire qu’on ne peut, dans la prop. 3, supprimer l’hypothèse de dénombrabilité.