习题 1, § 1

令 G 为有限维、连通、可交换的复数李群，并令 V 为其李代数。

a) 映射exp$_G: V\rightarrow G$为满同态；它的核$\Gamma$是V的离散子群。

$b) G$ 是紧致的当且仅当 $\Gamma$ 是 V 中的格子；则 G 被称为复数环面。

c) 令$\Gamma$为由元素$e_1=$$(1,0), e_2= (0,1), e_3= (2, i)$生成的$\surd \mathbf{C}^2_2$的离散子群；把$G =\mathbf{C}/\Gamma , H = (\Gamma +\mathbf{C}e_1)/\Gamma$。证明 H 与 $\mathbf{C}^*$ 同构的，$G/H$ 是维数 1 的复数环面，但 G 包含没有非零复数环面。

d) 每个有限维连通紧复形李群都是一个复形环面（cf. 第 III, §6, no. 3 章，第 6 条）。