Bài tập 1, § 1

Cho G là một nhóm Lie phức giao hoán, liên thông, hữu hạn chiều, và cho V là đại số Lie của nó.

a) Ánh xạ exp$_G: V\rightarrow G$ là một đồng cấu toàn ánh; hạt nhân của nó $\Gamma$ là một nhóm con rời rạc của V.

$b) G$ compact khi và chỉ khi $\Gamma$ là một dàn trong V; khi đó G được gọi là một xuyến phức.

c) Cho $\Gamma$ là nhóm con rời rạc của$\surd \mathbf{C}^2_2$ sinh bởi các phần tử $e_1=$ $(1,0), e_2= (0,1), e_3= (2, i)$; đặt $G =\mathbf{C}/\Gamma , H = (\Gamma +\mathbf{C}e_1)/\Gamma$. Chứng minh rằng H là đẳng cấu với $\mathbf{C}^*$, rằng $G/H$ là một xuyến phức có chiều 1, nhưng G không chứa xuyến phức khác không nào.

d) Mọi nhóm Lie phức compact liên thông hữu hạn chiều đều là một xuyến phức (xem Ch. III, §6, no. 3, Mđ. 6).