Exercice 1, § 1

Soit G un groupe de Lie complexe commutatif, connexe, de dimension finie, et soit V son algèbre de Lie. a) L’application $\exp_G : V \to G$ est un homomorphisme surjectif; son noyau $\Gamma$ est un sous-groupe discret de V. b) G est compact si et seulement si $\Gamma$ est un réseau dans V ; on dit alors que G est un tore complexe. c) Soit $\Gamma$ le sous-groupe discret de $\mathbf{C}^2$ engendré par les éléments $e_1 = (1, 0),\ e_2 = (0, 1),\ e_3 = (\sqrt{2}, i)$; on pose $G = \mathbf{C}^2 / \Gamma,\ H = (\Gamma + C e_1) / \Gamma$. Montrer que H est isomorphe à $\mathbf{C}^*$, que $G/H$ est un tore complexe de dimension 1, mais que G ne contient aucun tore complexe non nul. d) Tout groupe de Lie complexe compact connexe de dimension finie est un tore complexe (cf. III, § 6, no 3, prop. 6).