习题 27, § 6

设 G 为紧实李群，M 为类 $C^2$ 的紧流形，J 为 $\mathbf{R}$ 包含 0 的开区间。设 $(s, (x, \xi)) \mapsto (m_\xi(s, x), \xi)$ 为类 $C^2$ 的映射 $G \times (M \times J)$变成$M \times J$，其中G对左边的$M \times J$进行运算。

(a) 令X为$M \times J$上类$C^1$的向量域，这样，对于所有$(x, \xi) \in M \times J$，$X_{(x, \xi)}$的第二个投影是向量1到J的切线。 X通过G并在G上积分，推导出域X'的存在性，其性质与X相同，而且在G下不变。

(b) 证明存在 $M \times J$ 自身的微分同胚 $(x, \xi) \mapsto (h_\xi(x), \xi)$，使得 (i) 对于所有 $\xi \in J$，$h_\xi$ 是 M 到 M 的微分同胚； (ii) $m_\xi(s, x) = h_\xi(m_0(s, h_\xi^{-1}(x)))$ 为 $s \in G, x \in M, \xi \in J$。 （使用 (a) 和 no. 8 中的定理 5。）