习题 2, § 3

Let $\mathfrak{g}$ be a real Lie algebra of dimension $n, U$ (resp. H) the set of regular elements (resp. of Cartan subalgebras) of $\mathfrak{g}$, and Int($\mathfrak{g}$) the group of inner automorphisms of $\mathfrak{g}$ (Chap. III, §6, no. 2, Def. 2).

a) 证明，如果$x$和$y$属于对于$U,\mathfrak{g}^0(x)$和$\mathfrak{g}^0(y)$的同一个连通分量在Int($\mathfrak{g}$)下是共轭。 b) 证明 U 的连通分量的数是有限的，并且该数受仅依赖于 $n$ 的常数 $c(n)$ 限制（应用附录 II 的练习 2）。

c) 推断H 上Int($\mathfrak{g}$)的轨道的数为$\leq c(n)$。