Exercice 2, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie réelle de dimension $n$, $U$ (resp. $H$) l’ensemble des éléments réguliers (resp. des sous-algèbres de Cartan) de $g$, et $\mathrm{Int}(g)$ le groupe des automorphismes intérieurs de $g$ (III, § 6, no 2, déf. 2). a) Montrer que, si $x$ et $y$ appartiennent à la même composante connexe de $U$, $g^0(x)$ et $g^0(y)$ sont conjuguées par $\mathrm{Int}(g)$. b) Montrer que les composantes connexes de $U$ sont en nombre fini, et que ce nombre est borné par une constante $c(n)$ ne dépendant que de $n$ (appliquer l’exerc. 2 de l’App. II). c) En déduire que les orbites de $\mathrm{Int}(g)$ dans $H$ sont en nombre $\leq c(n)$.