习题 2, § 3

假设 K 是局部紧致的。令 G 为有限维 n 中的李群。

(a) 设 $\phi$ 为 G 的 etale 自同态，且核有限。令 $\mu$ 为 G 的左哈尔测度。则 $\phi$ 是正确的，并且

（应用命题55。）

(b) 假设 G 是紧的。令 $\phi$ 为 G 的 étale 自同态。则 Ker $\phi$ 是有限的，$\phi(G)$ 是 G 中的有限指标且

（使用 (a) 至变换 $\mu(G)$。） (c) 假设 G 是紧致且可交换的。令 $r \in \mathbf{Z}$ 使得 K 中的 $r.1 \neq 0$ 且令 $\phi$ 为 G 的自同态 $x \mapsto x^r$。则 （观察到 $L(\phi)$ 是比率 r 除以 § 2 的位似，命题 7 的推论。）