Bài tập 2, § 3

Giả sử rằng K là compact địa phương. Cho G là một nhóm Lie có số chiều hữu hạn n.

(a) Cho $\phi$ là một tự đồng cấu étale của G có hạt nhân hữu hạn. Cho $\mu$ là một độ đo Haar trái của G. Khi đó $\phi$ là thực sự và

(Sử dụng Mệnh đề 55.)

(b) Giả sử rằng G là compact. Cho $\phi$ là một tự đồng cấu étale của G. Khi đó hạt nhân $\phi$ là hữu hạn, $\phi(G)$ có chỉ số hữu hạn trong G và

(Sử dụng (a) để biến đổi $\mu(G)$.) (c) Giả sử rằng G là compact và giao hoán. Cho $r \in \mathbf{Z}$ là sao cho $r.1 \neq 0$ trong K và cho $\phi$ là tự đồng cấu $x \mapsto x^r$ của G. Khi đó (Quan sát rằng $L(\phi)$ là phép vị tự có tỉ số r theo § 2, Hệ quả của Mệnh đề 7.)