Exercice 2, § 3

Groupes et algèbres de Lie, III

On suppose K localement compact. Soit G un groupe de Lie de dimension finie $n$ .

¹ Pour plus de détails, voir R. S. PALAIS, On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups, Ann. of Math., t. LXXII (1961), p. 295–323. ² Pour un exemple de tel couple (E, F), cf. par exemple A. DOUADY, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d’un espace analytique donné, Ann. Inst. Fourier, t. XVI (1966), p. 16.

a) Soit $\varphi$ un endomorphisme étale de $G$ de noyau fini. Soit $\mu$ une mesure de Haar à gauche de $G$ . Alors $\varphi$ est propre et

\varphi(\mu) = \alpha . \mu|_{\varphi(G)} \quad \text{avec} \quad \alpha = \frac{\operatorname{Card}(\operatorname{Ker} \varphi)}{\operatorname{mod det} L(\varphi)}.

(Utiliser la prop. 55).

b) Supposons $G$ compact. Soit $\varphi$ un endomorphisme étale de $G$ . Alors $\operatorname{Ker} \varphi$ est fini, $\varphi(G)$ est d’indice fini dans $G$ , et

\frac{\operatorname{Card} \operatorname{Ker} \varphi}{\operatorname{Card}(G/\varphi(G))} = \operatorname{mod det} L(\varphi).

(Utiliser $a$ pour transformer $\mu(G)$ .)

c) Supposons $G$ compact commutatif. Soit $r \in \mathbf{Z}$ tel que $r.1 \neq 0$ dans $K$ , et soit $\varphi$ l’endomorphisme $x \mapsto x^r$ de $G$ . On a

\frac{\operatorname{Card}(\operatorname{Ker} \varphi)}{\operatorname{Card}(G/\varphi(G))} = (\operatorname{mod} r.1)^n.

(Observer que $L(\varphi)$ est l’homothétie de rapport $r$ d’après le § 2, cor. de la prop. 7.)

Solution

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