习题 34, § 9

令 $G$ 为有限维连通实数或复数李群，并且 $\rho$ 为 $G$ 在有限维复数向量空间 $V$ 上的解析线性表示。假设$\rho$是半单。 群 $G$ 由代数 $S(V^*)$ 自同构或$V$ 多项式函数运营。 (a) 设$S(V^*)^G$为$G$的集合-$S(V^*)$的不变元素。存在$S(V^*)$的投影算子$p$到$S(V^*)^G$，它与$G$的运算通勤，并且每$G$-稳定向量子空间离开稳定$S(V^*)$。

(b) 设$I, J$为$S(V^*)$的理想，它在$G$下稳定。令$A$（分别$B$）为$V$中$I$（分别$J$）的零中的集合。假设$A \cap B = \varnothing$。那么存在$u \in I$，使得$u$是$G$不变，并且$u = 1$在$B$中。 （根据*交换代数*、章 7、§ 3, no. 3、命题 2，存在$v \in I, w \in J$，使得$v + w = 1$令$u = pv$。证明$u$具有所需的属性。）