Bài tập 34, § 9

Cho $G$ là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông hữu hạn chiều và $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của $G$ trên một không gian vectơ phức hữu hạn chiều $V$. Giả sử rằng $\rho$ là nửa đơn. Nhóm $G$ tác động bởi các tự đẳng cấu lên đại số $S(V^*)$ của các hàm đa thức trên $V$. (a) Gọi $S(V^*)^G$ là tập hợp các phần tử bất biến bởi $G$ của $S(V^*)$. Tồn tại một phép chiếu $p$ của $S(V^*)$ lên $S(V^*)^G$ giao hoán với các phép toán của $G$ và giữ ổn định mọi không gian vectơ con $G$-ổn định của $S(V^*)$.

(b) Cho $I, J$ là các iđêan của $S(V^*)$ ổn định bởi $G$. Gọi $A$ (tương ứng $B$) là tập hợp các điểm không của $I$ (tương ứng $J$) trong $V$. Giả sử rằng $A \cap B = \varnothing$. Khi đó tồn tại $u \in I$ sao cho $u$ là bất biến bởi $G$ và $u = 1$ trên $B$. (Theo Đại số giao hoán, Chương 7, § 3, no. 3, Mệnh đề 2, tồn tại $v \in I, w \in J$ sao cho $v + w = 1$ Hãy đặt $u = pv$. Chứng minh rằng $u$ có các tính chất yêu cầu.)