Exercice 34, § 9

Soient G un groupe de Lie réel ou complexe connexe de dimension finie, ρ une représentation linéaire analytique de G dans un espace vectoriel complexe V de dimension finie. On suppose ρ semi-simple. Le groupe G opère par automorphismes dans l’algèbre S(V*) des fonctions polynômes sur V. a) Soit S(V*)G l’ensemble des éléments G-invariants de S(V*). Il existe un projecteur p de S(V*) sur S(V*)G qui commute aux opérations de G et qui laisse stable tout sous-espace vectoriel G-stable de S(V*). b) Soient I, J des idéaux de S(V*) stables par G. Soit A (resp. B) l’ensemble des zéros de I (resp. J) dans V. On suppose que A ∩ B = ∅. Il existe alors u ∈ I tel que u soit G-invariant et que u = 1 dans B. (D’après AC, § 3, n° 3, prop. 2, il existe v ∈ I, w ∈ J tels que v + w = 1. Soit u = pv. Montrer que u possède les propriétés requises.)