习题 10, § 2

在这个习题中，我们使用代数拓扑的以下结果（Lefschetz的公式$^{11}$）$:$让X是有限维紧凑流形，并且$f$态射来自X对自己。假设点 $x$ 的 X 的集合 F 使得 $f(x) =x$ 是有限的，并且对于所有 $x\in F$ 数 $\delta (x) =$ det(1 $-T_x(f)$) 都是非零。如果$H^i(f)$表示由$f$引起的向量空间$H^i(X,\mathbf{R})$的自同态（对于$i\geq 0$），则

$\sum_{x\in F}\delta (x)/|\delta (x)|=\sum_{i\geq 0}(-1)^i$Tr$H^i(f)$。

令 G 为连通的紧李群，T 为 G 的最大环面。对于 $g\in G$，用流形 $G/T$ 的 $\tau (g)$ 自同构表示，由左乘法由 $g$ 诱导。

a) 令$t$为T的元素，使得由$t$生成的子群在T中是稠密的。证明$\tau (t)$的固定点对于$n\in N_G(T)$来说是类$nT$。推断出$(N_G(T) : T) =\sum_i(-1)^i$暗淡$_{\mathbf{R}}H^i(G/T,\mathbf{R})$。

b) 令$g$为G的任意元素；证明$\tau (g)$固定点的集合非空，并推导出Th的另一个证明。 2.\*