Exercice 10, § 2

\* Dans cet exercice, on utilise le résultat de topologie algébrique suivant (formule de Lefschetz ¹) : soient X une variété compacte de dimension finie, et $f$ un morphisme de X dans elle-même. On suppose que l’ensemble F des points $x$ de X tels que $f(x) = x$ est fini, et que pour tout $x \in F$ le nombre $\delta(x) = \det(1 - T_x(f))$ est non nul. Si l’on désigne par $H^i(f)$ l’endomorphisme de l’espace vectoriel $H^i(X, \mathbf{R})$ induit par $f$ (pour $i \geq 0$), on a

Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal de G. Pour $g \in G$, on note $\tau(g)$ l’automorphisme de la variété $G/T$ déduit de la multiplication à gauche par $g$. a) Soit $t$ un élément de T tel que le sous-groupe engendré par $t$ soit dense dans T. Montrer que les points fixes de $\tau(t)$ sont les classes $nT$ pour $n \in N_G(T)$. En déduire qu’on a $(N_G(T):T) = \sum_i (-1)^i \dim_{\mathbf{R}} H^i(G/T, \mathbf{R})$. b) Soit $g$ un élément quelconque de G ; démontrer que l’ensemble des points fixes de $\tau(g)$ est non vide, et en déduire une autre démonstration du th. 2. \*