Bài tập 10, § 2

Trong bài tập này, ta sử dụng kết quả sau đây từ tôpô đại số (công thức Lefschetz$^{11}$)$:$ cho X là một đa tạp compact hữu hạn chiều, và $f$ là một cấu xạ từ X vào chính nó. Giả sử rằng tập hợp F gồm các điểm $x$ của X sao cho $f(x) =x$ là hữu hạn, và với mọi $x\in F$ số $\delta (x) =$ det(1 $-T_x(f)$) là khác không. Nếu $H^i(f)$ ký hiệu tự đồng cấu của không gian vectơ $H^i(X,\mathbf{R})$ cảm sinh bởi $f$ (với $i\geq 0$), thì

$\sum_{x\in F}\delta (x)/|\delta (x)|=\sum_{i\geq 0}(-1)^i$Tr $H^i(f)$.

Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, T là một xuyến cực đại của G. Với $g\in G$, ký hiệu $\tau (g)$ là tự đẳng cấu của đa tạp $G/T$ cảm sinh bởi phép nhân trái bởi $g$.

a) Cho $t$ là một phần tử của T sao cho nhóm con sinh bởi $t$ là trù mật trong T. Chứng minh rằng các điểm bất động của $\tau (t)$ là các lớp $nT$ với $n\in N_G(T)$. Suy ra rằng $(N_G(T) : T) =\sum_i(-1)^i$ dim$_{\mathbf{R}}H^i(G/T,\mathbf{R})$.

b) Cho $g$ là một phần tử tùy ý của G; chứng minh rằng tập hợp các điểm bất động của $\tau (g)$ là không rỗng, và suy ra một chứng minh khác của Đl. 2.\*