习题 4, § 8

Ad(G) 下$\mathfrak{g}$ 不变量上的选择分离正二次形式 Q。对于$x\in \mathfrak{t}$，输入$\vartheta_0(x) =\sum_{u\in\Gamma(T)}e^{-Q(x+u)}$。

a) 证明$\vartheta_0$是$\mathfrak{t}$上类$C^{\infty}$的函数，并且T上存在类$C^{\infty}$的函数$\vartheta_1$，使得$\vartheta_1\circ$exp$_T=\vartheta_0$。 b) 证明G上存在唯一的中心函数$\vartheta$，类$C^{\infty}$，其限制到T等于$\vartheta_1$。对于 G 的每个最大环面 S 和所有 $x\in L(S)$，我们有

$\vartheta$（经验$x$）$=\sum_{u\in\Gamma(S)}e^{-Q(x+u)}$。

c) 令 A 为 $\mathfrak{t},dx$ $\mathfrak{t}$ 上的 Haar 测度的凹室，以及 $h$ $\mathfrak{t}$ 上的局部可积函数在仿射 Weyl 群 $W_a'($§5, no. 2 下的不变量）。证明等式

d) 对于 $x\in \mathfrak{g}$，输入 $\xi (x) =\lambda_{\mathfrak{g}}(x)e^{-Q(x)}(\vartheta$(exp $x$))$^{-1}$，以及 $\lambda_{\mathfrak{g}}(x) =$ det$\frac{e^{\mathrm{ad}\ x}-1}{\mathrm{ad}\ x}$ (§6, no. 3)。证明$\xi$是$\mathfrak{g}$上类$C^{\infty}$的函数，并且如果$\mu$是$\mathfrak{g}$上的Haar测度，则$\xi \mu$测度的exp$_G$下的像是G上的Haar测度（使用$c$）以及Cor。 2 Th。 1 和提案 4（§6, no. 2 和 3））。

e) 证明$x\in \mathfrak{t}$的公式$\vartheta_0(x) =m\sum_{\lambda\in X(T)}$exp($\delta (\lambda )(x)-^1_4Q'(\delta (\lambda ))$)，其中$Q'$是$\mathfrak{t}^*_{\mathbf{C}}$上的二次形式，是由Q引起的$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$上的二次形式的倒数，其中$m$ 是一个需要计算的常数（使用泊松公式、cf. 谱理论，第 II, §1, no. 8 章）。推导出等式 $\vartheta (t) =m\sum_{\lambda\in X(T)}e^{-Q'(\delta(\lambda))/4}t^{\lambda}$ 得到 $t\in T$。