Bài tập 4, § 8

Chọn một dạng toàn phương dương phân ly Q trên $\mathfrak{g}$ bất biến dưới Ad(G). Với $x\in \mathfrak{t}$, đặt $\vartheta_0(x) =\sum_{u\in\Gamma(T)}e^{-Q(x+u)}$.

a) Chứng minh rằng $\vartheta_0$ là một hàm lớp $C^{\infty}$ trên $\mathfrak{t}$, và rằng tồn tại một hàm $\vartheta_1$ lớp $C^{\infty}$ trên T sao cho $\vartheta_1\circ$ exp$_T=\vartheta_0$. b) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm trung tâm $\vartheta$ trên G, lớp $C^{\infty}$, mà hạn chế lên T bằng $\vartheta_1$. Với mọi xuyến cực đại S của G và mọi $x\in L(S)$, ta có

$\vartheta$(exp $x$) $=\sum_{u\in\Gamma(S)}e^{-Q(x+u)}$.

c) Cho A là một buồng của $\mathfrak{t},dx$ một độ đo Haar trên $\mathfrak{t}$, và $h$ một hàm khả tích địa phương trên $\mathfrak{t}$ bất biến dưới nhóm Weyl afin $W_a'($§5, no. 2). Chứng minh đẳng thức

d) Với $x\in \mathfrak{g}$, đặt $\xi (x) =\lambda_{\mathfrak{g}}(x)e^{-Q(x)}(\vartheta$(exp $x$))$^{-1}$, với $\lambda_{\mathfrak{g}}(x) =$ det$\frac{e^{\mathrm{ad}\ x}-1}{\mathrm{ad}\ x}$ (§6, no. 3). Chứng minh rằng $\xi$ là một hàm lớp $C^{\infty}$ trên $\mathfrak{g}$ và rằng nếu $\mu$ là một độ đo Haar trên $\mathfrak{g}$, thì ảnh của độ đo $\xi \mu$ qua exp$_G$ là một độ đo Haar trên G (dùng $c$) cũng như Hệ quả 2 của Định lý 1 và Mệnh đề 4 (§6, no. 2 and 3)).

e) Chứng minh công thức $\vartheta_0(x) =m\sum_{\lambda\in X(T)}$ exp($\delta (\lambda )(x)-^1_4Q'(\delta (\lambda ))$) với $x\in \mathfrak{t}$, trong đó $Q'$ là dạng toàn phương trên $\mathfrak{t}^*_{\mathbf{C}}$ nghịch đảo với dạng toàn phương trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ cảm sinh bởi Q và trong đó $m$ là một hằng số cần được tính (dùng công thức Poisson, xem Lý thuyết phổ, Chap. II, §1, no. 8). Suy ra đẳng thức $\vartheta (t) =m\sum_{\lambda\in X(T)}e^{-Q'(\delta(\lambda))/4}t^{\lambda}$ với $t\in T$.