Exercice 4, § 8

On choisit une forme quadratique positive séparante $Q$ sur $g$ invariante par $\mathrm{Ad}(G)$. Pour $x \in t$, on pose $\mathscr{J}_0(x) = \sum_{u \in \Gamma(T)} e^{-Q(x+u)}$. a) Montrer que $\mathscr{J}_0$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $t$, et qu’il existe une fonction $\mathscr{J}_1$ de classe $C^\infty$ sur $T$ telle que $\mathscr{J}_1 \circ \exp_T = \mathscr{J}_0$. b) Montrer qu’il existe une unique fonction centrale $\mathscr{J}$ sur $G$, de classe $C^\infty$, dont la restriction à $T$ est égale à $\mathscr{J}_1$. Pour tout tore maximal $S$ de $G$ et tout $x \in L(S)$, on a

c) Soient $A$ une alcôve de $t$, $dx$ une mesure de Haar sur $t$, et $h$ une fonction intégrable sur $t$, invariante sous le groupe de Weyl affine $W'_a$ (§ 5, n° 2). Démontrer l’égalité d) Pour $x \in g$, on pose $\xi(x) = \lambda_g(x) \, e^{-Q(x)} (\mathscr{J}(\exp x))^{-1}$, avec $\lambda_g(x) = \det \frac{e^{\mathrm{ad}x} - 1}{\mathrm{ad} x}$ (§ 6, n° 3). Montrer que $\xi$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $g$ et que si $\mu$ est une mesure de Haar sur $g$, l’image par $\exp_G$ de la mesure $\xi \mu$ est une mesure de Haar sur $G$ (utiliser c) ainsi que le cor. 2 du th. 1 et la prop. 4 (§ 6, n°s 2 et 3)). e) Démontrer la formule $\mathscr{J}_0(x) = m \sum_{\lambda \in X(T)} \exp(\delta(\lambda)(x) - \frac{1}{4} Q'(\delta(\lambda)))$ pour $x \in t$, où $Q'$ est la forme quadratique sur $t_C^*$ inverse de la forme quadratique sur $t_C$ déduite de $Q$ et où $m$ est une constante qu’on calculera (utiliser la formule de Poisson, cf. TS, II, § 1, n° 8). En déduire l’égalité $\mathscr{J}(t) = m \sum_{\lambda \in X(T)} e^{-Q'(\delta(\lambda))/4} t^\lambda$ pour $t \in T$.