习题 6, § 6

将 $b_i(G) =$ dim$_{\mathbf{R}}H^i(G)$ 替换为 $i\geq 0$，如果 X 表示不确定，则$P_G(X) =\sum_{i\geq 0}b_i(G)X^i$。

a) 证明 $b_i(G) =\int_G$ Tr $\wedge \wedge^i$(Ad $g$)$dg$ 和 $P_G(X) =\int_G$ det(1 $+ X$.Ad $g$)$dg$ (cf. 附录 II, 引理1)。

b) 如果 $G>0$ 暗淡，则推导出等式 $\sum_ib_i(G) = 2^r$ 和 $\sum_i(-1)^ib_i(G) = 0$（使用 H. Weyl 的公式或 §2 的练习 8）。

c) 取$G =\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$。证明$P_G(X)$是多项式$\frac{1}{n!}(1 + X)^n\prod_{_{1\leq i,j\leq n}}$(XX$_i+ X_j$)$(X_i-X_j)$中$(X_1. . .X_n)^{2n-2}$的系数（$\mathbf{Z}[X]$中的系数）$.i_{\not=j}$