Exercice 6, § 6

On pose $b_i(G) = \dim_{\mathbf{R}} H^i(G)$ pour $i \geq 0$, et, si $X$ désigne une indéterminée, $P_G(X) = \sum_{i \geq 0} b_i(G) X^i$. a) Démontrer qu’on a $b_i(G) = \int_G \mathrm{Tr} \Lambda^i(\mathrm{Ad}\, g)\, dg$ et $P_G(X) = \int_G \det(1 + X.\mathrm{Ad}\, g)\, dg$ (cf. Appendice II, lemme 1). b) En déduire les égalités $\sum_i b_i(G) = 2^r$, et $\sum_i (-1)^i b_i(G) = 0$ si $\dim G > 0$ (utiliser la formule de H. Weyl, ou l’exerc. 8 du § 2). c) On prend $G = U(n, \mathbf{C})$. Montrer que $P_G(X)$ est le coefficient de $(X_1 \ldots X_n)^{2n-2}$ dans le polynôme $\frac{1}{n!} (1 + X)^n \prod_{1 \leq i, j \leq n, i \neq j} (XX_i + X_j)(X_i - X_j)$ (à coefficients dans $\mathbf{Z}[X]$).