Bài tập 6, § 6

Đặt $b_i(G) =$ dim$_{\mathbf{R}}H^i(G)$ với $i\geq 0$ và, nếu X ký hiệu một ẩn, $P_G(X) =\sum_{i\geq 0}b_i(G)X^i$.

a) Chứng minh rằng $b_i(G) =\int_G$ Tr $\wedge \wedge^i$(Ad $g$)$dg$ và $P_G(X) =\int_G$ det(1 $+ X$.Ad $g$)$dg$ (xem Phụ lục II, Bổ đề 1).

b) Suy ra các đẳng thức $\sum_ib_i(G) = 2^r$, và $\sum_i(-1)^ib_i(G) = 0$ nếu dim $G>0$ (dùng công thức của H. Weyl, hoặc Bài tập 8 của §2).

c) Lấy $G =\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$. Chứng minh rằng $P_G(X)$ là hệ số của $(X_1. . .X_n)^{2n-2}$ trong đa thức $\frac{1}{n!}(1 + X)^n\prod_{_{1\leq i,j\leq n}}$(XX$_i+ X_j$)$(X_i-X_j)$ (với các hệ số trong $\mathbf{Z}[X]$)$.i_{\not=j}$