习题 4, § 6

令 X 为类 $C^{\infty}$ 的可微分流形。在这个和下面的习题中，我们将简单地用H(X)表示分级的$\mathbf{R}$-空间$H(\Omega (X))$。

a) 证明$\Omega (X)$是结合且反交换的分级微分代数（阿尔盖布尔，第X，p. 183，练习18）。推出 H(X) 具有自然结合律和反交换律代数结构。

b) 如果X已连接且为维数$p$，则$H^i(X) = 0$对应$i > p$且暗淡$_{\mathbf{R}}H^0(X) = 1$。此外，如果 X 是紧致的，空间 $H^p(X)$ 是维数 1（使用可微分和解析流形，结果，11.2.4）。

c) 设Y为类$C^{\infty}$中的另一个流形，以及类$C^{\infty}$中的$f: X\rightarrow Y$映射。 映射 $f^*:\Omega (Y)\rightarrow \Omega (X)$ 是态射复合体（可微分和解析流形，结果，8.3.5）；证明 $H(f^*) : H(Y)\rightarrow H(X)$ 是态射 / 代数。

d) 假设我们在类$C^{\infty}$的X上得到G的运算的律。证明不变量形式的子复形 $\Omega (X)^G$ 是 $\Omega (X)$ 的子代数。推导出 Th 中定义的映射 $H(i) : H(\Omega (X)^G)\rightarrow H(X)$。 2 是分级代数的同构。

e) 证明 (Alt($\mathfrak{g}$))$^G$ 是 Alt($\mathfrak{g}$) 的子代数，并且分级的代数 H(G) 与其同构。