Exercice 4, § 6

Soit $X$ une variété différentielle de classe $C^\infty$. Dans cet exercice et les suivants, on notera simplement $H(X)$ le $\mathbf{R}$-espace gradué $H(\Omega(X))$. a) Montrer que $\Omega(X)$ est une algèbre différentielle graduée associative et anticommutative (A, X, p. 183, exerc. 18). En déduire que $H(X)$ possède une structure naturelle d’algèbre graduée, associative et anticommutative. b) Si $X$ est connexe de dimension $p$, on a $H^i(X) = 0$ pour $i > p$ et $\dim_{\mathbf{R}} H^0(X) = 1$. Si de plus $X$ est compacte, l’espace $H^p(X)$ est de dimension un (utiliser VAR, R, 11.2.4). c) Soient $Y$ une autre variété de classe $C^\infty$, et $f : X \to Y$ un morphisme de classe $C^\infty$. L’application $f^* : \Omega(Y) \to \Omega(X)$ est un morphisme de complexes (VAR, R, 8.3.5) ; montrer que $H(f^*) : H(Y) \to H(X)$ est un morphisme d’algèbres. d) On suppose donnée une loi d’opération de classe $C^\infty$ de $G$ sur $X$. Montrer que le sous-complexe $\Omega(X)^G$ des formes invariantes est une sous-algèbre de $\Omega(X)$. En déduire que l’application $H(i) : H(\Omega(\hat{X})^G) \to H(X)$ définie dans le th. 2 est un isomorphisme d’algèbres graduées.

e) Montrer que $(\mathrm{Alt}(g))^G$ est une sous-algèbre de $\mathrm{Alt}(g)$, et que l’algèbre graduée $H(G)$ lui est isomorphe.