Bài tập 4, § 6

Cho X là một đa tạp khả vi lớp $C^{\infty}$. Trong bài tập này và các bài tiếp theo, ta sẽ ký hiệu đơn giản bởi H(X) không gian phân bậc trên $\mathbf{R}$ $H(\Omega (X))$.

a) Chứng minh rằng $\Omega (X)$ là một đại số vi phân phân bậc kết hợp và phản giao hoán (Algèbre, Chap. X, p. 183, Exerc. 18). Suy ra rằng H(X) có một cấu trúc đại số phân bậc kết hợp và phản giao hoán tự nhiên.

b) Nếu X liên thông và có chiều $p$, thì $H^i(X) = 0$ với $i > p$ và dim$_{\mathbf{R}}H^0(X) = 1$. Hơn nữa, nếu X compact, không gian $H^p(X)$ có chiều bằng một (dùng Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 11.2.4).

c) Cho Y là một đa tạp khác lớp $C^{\infty}$, và $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ lớp $C^{\infty}$. Ánh xạ $f^*:\Omega (Y)\rightarrow \Omega (X)$ là một cấu xạ của các phức (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 8.3.5); chứng minh rằng $H(f^*) : H(Y)\rightarrow H(X)$ là một cấu xạ đại số.

d) Giả sử đã cho một luật phép toán của G trên X thuộc lớp $C^{\infty}$. Chứng minh rằng phức con $\Omega (X)^G$ của các dạng bất biến là một đại số con của $\Omega (X)$. Suy ra rằng ánh xạ $H(i) : H(\Omega (X)^G)\rightarrow H(X)$ được định nghĩa trong Th. 2 là một đẳng cấu của các đại số phân bậc.

e) Chứng minh rằng (Alt($\mathfrak{g}$))$^G$ là một đại số con của Alt($\mathfrak{g}$), và rằng đại số phân bậc H(G) đẳng cấu với nó.