习题 3, § 6

令$K$为域，$B$多项式环$K[X_1, X_2]$，$p$为由多项式$X_1^3 - X_2^2$生成的$B$的理想值。

(a) 证明 $p$ 是素数，因此 $A = B/p$ 是整环。令$a$和$b$表示$A$中$X_1$和$X_2$的典范像； $a$ 和 $b$ 在 $A$ 和 $a^3 = b^2$ 中不可逆。

(b) 令 $m$ 为由 $a$ 和 $b$ 生成的 $A$ 的（极大）理想值。证明对称代数 $S(m)$ 不是整环。 （观察$m$与商模$A^2/N$标识，其中$N$是$(b, -a)$生成的$A^2$的子模；结论$S(m)$与商环同构$A[U, V]/(bU - aV)$ 并通过考虑乘积 $b^2(bV^3 - U^3)$，证明在多项式环 $A[U, V]$ 中主理想 $(bV - aU)$ 不是素数。）