Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

历史注记

我们已经看到（章I和II–III的历史注记）第一个非交换代数出现在1843-44年，在Hamilton [25]和Grassmann [23]和[24]的著作中。汉密尔顿在介绍四元数时，已经清楚地知道有限秩的任意代数超过实数的域（[25]，前言，p. 26–31）[^1]。在发展他的理论时，他后来想到了考虑他所谓的“双四元数”，即代数超过复数的域，并且乘法表与四元数代数相同；这次，他观察到这个扩张导致了零因子（[25]，p. 650）的出现。格拉斯曼的点观点略有不同，在很长一段时间里，他的“外部代数”与代数的一般理论保持分离；[^2]，但在他的语言中，仍然缺乏精确性，不能无法识别代数的第一个想法（有限维与否，超过实数的域）由生成的集合和关系 [24] 定义。

1850年至1860年间，或多或少明确地引入了代数的新例。凯莱在发展矩阵[8]理论时，尚未将方阵视为形成代数（点的观点将在1870年左右首次由皮尔士家族明确表达） [40]）。然而，他已经注，此时，四元数的阶 2 满足乘法表矩阵系统的存在性；这个观察可以被看作是代数.[^3]的线性表示的第一个例。此外，在回忆录中，他定义是有限群的摘要概念，他还在经过中给出了定义这样的群中的代数，没有进一步的应用定义 ([7], p. 129)。

No other progress is made before 1870, but at this time, research into the general structure of finite-dimensional algebras (over the field of real or complex numbers) begins. 是B。 皮尔斯朝这个方向迈出了第一步；他引入了幂零元和幂等元素的概念，证明了具有至少一个非零幂元素的代数（有或没有单位）具有非零的幂等，写下了著名的分解

$(e$ 一个幂等，$x$ 任意元素），并且具有（仍然有点不精确）分解幂等的想法，就像和成对正交“原始”幂等 [40]。此外，根据 Clifford ([11], p. 274)，[^4] 应该归属于 B. Pierce，两个代数中的张量积的概念，克利福德本人隐含地将其应用于汉密尔顿“双四元数”[9] 的推广，并明确应用于几年后，代数为他命名为之后（[10]和[11]）。 B. Peirce 使用这些新的概念对低维代数（超过复数的域）进行分类。 1880 年左右，英美学校的其他数学家，特别是凯利和西尔维斯特也解决了这个问题。 结构的多种可能很快就会变得显而易见，毫无疑问，这一事实将在接下来的时期内引导研究获得具有更特殊属性的代数类。

在欧洲大陆，思想的演变完全不同，这样的研究已经在1880年出现了之前。1878年，Frobenius证明了四元数形式是非交换（有限维的）域超过域的唯一例实数 ([18], p. 59–63)，两年后C独立发表的结果。 S.皮尔斯[39]。早在 1861 年，维尔斯特拉斯在澄清高斯的注时，就在他的讲座中将交换代数超过$\mathbf{R}$或没有幂零元[^5]的$\mathbf{C}$描述为域的直和同构于$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$。戴德金在他的研究中，在1870年左右得出了与他的交换域理论的“超复杂”概念相关的相同结论。他们的证明出版于 1884-85 年（[54] 和 [12]）。同样是在 1884 年，H. Poincaré 在一篇相当神秘的注 [41] 中，提请人们注意将代数中的乘法律 $(\sum_ix_ie_i)(\sum_iy_ie_i) =\sum_iz_ie_i$ 表达为定义（当然是局部的）李群的方程 $z_i=\varphi_i(x_1, . . . , x_n, y_1, . . . , y_n)$ 的可能性。这个注似乎给Lie和他的追随者（E. Study、G. Scheffers、F. Schur，以及后来的T. Molien和É. Cartan）留下了深刻的印象，他们当时正在发展“连续”群，特别是分类问题的理论（特别参见[43]，p. 387）。 1885-1905年期间，它导致学校的数学家们将类似于研究李群和李代数时使用的方法应用到代数的结构的研究中。这些方法首先基于考虑代数的元素特征多项式相对于其正则表示（在上述Weierstrass和Dedekind的著作中已经遇到的多项式）以及将该多项式的分解转化为不可约因子。正如 Frobenius 稍后发现的那样，分解反映在正则表示的分解中，成为不可约分量。

在李的学校对代数进行研究的过程中，理论的“内在”概念逐渐显现出来。 根式的概念出现在G中的一个特定情况（根式的商是域的直接乘积时）。 Scheffers 在 1891 年的工作 [43]，更清楚的是 T. Molien [31] 和 É。 Cartan [4]，研究一般情况（字根式来自 Frobenius [22]）。 Study 和 Scheffers [43] 强调了代数的概念，它是其他几个概念的直接乘积（Peirce 已经瞥见了（[38], p. 221）。 最后，Molien [31] 引入了代数、概念的商代数，本质上等价于双面理想（首先由 É 定义）。 嘉当[4]）或同态（这个名字也是由弗罗贝尼乌斯得来的）。 与群的类比是显而易见的，后来，在1904年，Epsteen和Wedderburn将考虑双面理想的合成列和扩展乔丹-霍尔德定理。 这一时期最重要的成果是T. Molien的[31]：在简单的群的概念的指导下，他定义单代数（超过$\mathbf{C}$）并证明这些是矩阵代数。 然后，他证明了有限秩的任意代数在 $\mathbf{C}$ 上的结构本质上是约化，谢弗斯已经研究过，当根式的商是直和与域时。 不久之后，这些结果被É重新发现并更严格、更清晰地建立。 嘉当[4]。 这次，他介绍了半单代数的概念并揭示了数值不变量“É”。 嘉当整数”（VIII、p. 180、习题 8），与域$\mathbf{C}$上的任意代数相关。 因此，他将这些代数的理论带到了点，除此之外几乎没有取得任何进展。[^6]最后，他扩展莫连的结果和他自己的代数超过$\mathbf{R}$的结果。

1900 年左右，思想开始朝着放弃与线性代数相关的所有标量中域上的每一个限制的方向发展。特别是，我们必须消除点围绕E.H.摩尔和L的美国人学校研究有限域的强烈冲动。 E·迪克森.这个研究的结果是Wedderburn的定理[50]，证明每个有限域是可交换的。 1907 年，Wedderburn 将嘉当的结果和扩展取为任意基域 [51]。在此过程中，他完全放弃了前人的方法（当域不再是代数封闭或最大有序时，应用不能）。相反，他在改进的同时又回到了 B. Peirce 的幂等技术，这使得他能够将形式结构定理放入半单代数，从而将他们的研究减少到非交换域。此外，标量的扩张的问题在他的视角中自然出现，并且Wedderburn证明每个半单代数仍然是基域[^7]的半单之后可分扩张，并成为中心简单的直接乘积矩阵代数当这个扩张是足够大 ([51], p. 102).[^8] 稍后，Dickson，对于 $n= 3$[17]，以及 Wedderburn 本人，对于 $n$ 任意 [52]，给出第一个例秩$n^2$的非交换域超过其中心，[^9]，从而在特定情况下引入“叉积”和“系统因子”的理论，该理论后来由R. Brauer [2]和E. Noether（[33]， [34] 和 [35]）。最后，在 1921 年，Wedderburn 证明了交换定理 [53] 的具体情况。

与此同时，从1896年到1910年，Frobenius、Burnside和I发展了一种接近代数的理论，即群的线性表示理论（最初仅限于表示或有限群）。 舒尔。 它起源于 Dedekind 制作的注。 在他对伽罗瓦扩张正常基进行研究的研究过程中，戴德金（甚至之前发表了他关于代数的工作），在1880年左右，遇到了“群行列式”det($x_{st^{-1}}$)，其中$(x_s)_{s\in G}$是变量的序列， 指标集合是有限群G（群G的代数的通用元素相对于其正则表示的其他字、范数）。 他观察到，当 G 为阿贝尔的时，该多项式分解为线性因子（它概括了“循环”矩阵行列式的长恒等式之前，其中对应为循环群 G）。 在他与 Frobenius [13] 的迷人的对应的过程中，戴德金于 1896 年提请注意这个性质，它与阿贝尔的群的特征标理论的联系，以及他在 1886 年获得的特定非交换群的类似结果。 几个月后，弗罗贝尼乌斯将“群行列式”的分解的问题完全解决为不可约的因子[19]，这要归功于他出色的特征标的概念的推广[20]，这里我们不再讨论。 但值得注意的是，在该理论后来的发展中，[^10]弗罗贝尼乌斯始终意识到它与代数理论的联系（戴德金在他的信件中一直坚持这一点）。 之后引入了不可约表示的概念和群[21]的完全可约表示，并证明了正则表示包含都是不可约表示，正是通过类似的方法，他在1903年提出采用理论莫连-嘉当[22]。 在 Burnside [3] 和 I 的作品中。 Schur [45]，该理论的“超复杂”方面没有明确干预；但正是在他们的工作中，不可约表示、Schur 的引理和 Burnside 的定理的基本属性出现了。 最后值得注意的是，正是在这个理论中，交换定理的两个特殊情况第一次出现。 第一个位于I。 Schur 的论文 [44]，它链接了线性群的表示和对称群的自同态环中的交换（精确地通过张量空间中的交换）。 第二个是在 Schur 1905 年的著作 [46] 中，他证明在域 $\mathbf{C}$ 上与不可约表示的所有矩阵通勤的矩阵是 I 的标量倍数（这个结果也是从 Burnside 的定理得出的）。

这些理论的认同公共的基仍然很清楚：这是德国人学校围绕E的工作。 诺特和E. Artin，1925年至1933年期间，见证了现代代数的诞生。 早在 1903 年，在回忆录关于线性微分方程的代数积分 [42] 中，H. 庞加莱在代数中定义了左理想和右理想，以及概念最小理想。 He had also observed that in a semisimple algebra, every left ideal is the direct sum of its intersections with the simple components and that in the algebra of matrices of order $n$, the minimal ideals have dimension $n$; but his work went unnoticed by algebraists.[^11] In 1907, Wedderburn defines left and right ideals of an algebra again and proves some of their properties (in particular, that the radical is the largest nilpotent left ideal ([51], p. 113–114)). 但直到 1927 年，这些概念才在代数理论中得到本质的应用。[^12]推广了到处出现的证明方法，[^13]W。 克鲁尔于 1925 年 [28] 和 E. Noether于1926年[33]引入并系统地使用了最大和最小条件。 第一个使用它们到扩展Remak的定理在有限群的分解上作为不可分解的群到阿贝尔的群的直接乘积与运算符（他在这种情况下是定义）（cf. VIII、p. 37、定理 2)，而第二个则在 Dedekind 环的刻画中使用这些条件。 1927 年，E. Artin [1]，应用与非交换环相同的想法，展示了如何通过对最小理想的系统研究，可以将扩展 Wedderburn的定理到所有环，其左理想满足既是最大又是最小条件。[^14]

在其他地方，1926 年，Krull [29] 在阿贝尔的群的概念与运算符之间建立了联系，并且在线性表示与群之间建立了联系。这种点观点被推广到代数，并由 E. Noether 在 1929 年的基础著作 [34] 中详细发展。由于引入的思想的重要性和阐述的清晰性，这项工作值得被列为现代代数.[^15] 的支柱之一，与斯坦尼茨的回忆录 on 交换域并列。

最后，在 1927 年开始的作品级数（[36]、[2] 和 [35]）中，E. 诺特和 R. 布劳尔 (Brauer) 于 1929 年加入，A. 阿尔伯特和 H. Hasse，继续 Wedderburn 和 Dickson 停止的偏斜域的研究。 尽管他们成果中最重要的部分在于对布劳尔群的彻底研究，特别是对代数数域的研究，但正是在这些作品中澄清了交换定理以及概念中和单代数的域及其关系至极大交换子域。 最后，在 1927 年，Skolem 描述了几年后由 E 恢复的定理中的简单环 [49] 的自同构。 诺特 [35] 和 R. 布劳尔[2]。

因此，在1934年，简单和半单环的基本理论或多或少已经达到了最终的形式（有关该理论当前状态的概述，请参见[16]）。

[^1]: Hamilton没有提到两个代数之间的同构的概念。 然而，从那时起，英国数学家学校，特别是德摩根和凯莱，充分了解基变换根本上并不考虑变换代数（对于例，请参阅凯莱关于秩的代数的工作[6] 2）。 [^2]: 这可能是因为，在加法到“外部”乘法中，格拉斯曼还在多向量之间引入了他所谓的“回归”和“内部”乘法（它取代了与对偶相关的一切）。 无论如何，值得注意的是，在1900年左右，百科全书的《研究-嘉当》文章[5]中，外数代数仍然不属于联想性代数，而是单独处理，并且没有指出秩4的代数的型之一（型） [5] 的 p. 180 上的 VIII 只是二维空间的外部代数。 [^3]: 事实上，凯莱并没有证明这种存在，也没有明确地写下所讨论的矩阵，并且当时似乎没有观察到其中一些必然是虚构的。 （回忆录[8]中的任何地方都没有指定矩阵中出现的“数量”是实数还是复数。 然而，复数确实偶然出现在p. 494上。）人们可能会认为，再多一步就足以实现认同汉密尔顿的“双四元数”以及阶2的复数矩阵；事实上，这个结果首先由皮尔斯夫妇在1870年明确表述（[38], p. 132）。 C介绍了正则表示和代数的总体思路。 S。 皮尔斯于 1879 年左右 [40]； 拉盖尔早在 1867 年就已经预见到了这一点（[30], p. 235）。 [^4]: B. 皮尔士于 1871 年在伦敦遇见了克利福德，两人多次提到他们的谈话，其中一次无疑是在伦敦数学学会的一次会议上进行的，皮尔斯在会上展示了他的结果（Proc. 伦敦。 数学。 苏克。 (1) 3 (1869–1871), p. 220)。 [^5]: 事实上，Weierstrass对他的代数施加了更严格的条件，即方程$a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n= 0$（其中$a_i$和未知的$x$在代数中）只有当$a_i$都是倍数时才能有无穷多个解同样的零因子。 [^6]: 根本的困难来自部首的研究，对于部首结构，目前还没有人找到令人满意的分类原理。 [^7]: 在 Wedderburn 撰写本文时，可分扩张的概念尚未定义，但他隐含地使用了假设，如果基域上的不可约多项式 $f$ 在扩张中具有根 $x$ 域，那么我们必然有$f'(x)\not= 0$（[51]，p. 103）。 直到 1929 年，E. 诺特点指出了与标量的扩张和域不可分性相关的现象[34]。 让我们提到与可分离性相关的另一个结果（现在并入同源代数），代数的分解作为其部首和半单子代数的直和（但不是直接的乘积！）。 这个结果（当标量的域为 $\mathbf{C}$ 时由 Molien 证明，由 É 证明。 Wedderburn 在其一般形式中描述了代数超过$\mathbf{R}$）的嘉当，事实上，只有当代数与其根式的商是简单的（[51] p. 105-109）时，他才使用与上述不可约多项式相同的假设来证明它。 [^8]: 同时开始的群对线性表示的算术研究也导致人们考虑中和表示的域的等价概念[47]。 [^9]: 注在《几何原理》中，希尔伯特给出了无限秩的非交换域中的例超过其中心。 [^10]: Frobenius 结果中的部分是由 T 独立获得的。 莫连于 1897 年 [32]。 [^11]: 让我们也注，在这个回忆录中，庞加莱观察到群代数中的算子集合消灭了群形式线性表示空间向量左理想。 他点指出这个注可以应用于线性表示（[42]，p. 149）的理论，但从未发展出这个想法。 [^12]: 令注有趣的是，与此同时，左右理想的概念出现了，不是在代数的研究中，而是在E的作品中。 诺特和W. Schmeidler [37] 关于微分算子的环。 [^13]: 最大条件（在“上升链条件”的形式中）可以追溯到戴德金，他在研究代数数域的理想时明确引入了它（[15]，p. 90）。 “上升链”推理的第一个例可能是在Wedderburn的1907年关于双面理想的回忆录（[51]，p. 90）中发现的。 [^14]: 1929 年，E. 诺特证明，对于没有根式的环，当仅假设满足最小条件时，这些定理适用（[34]，p. 663）。 1939年，C。 霍普金斯证明，仅这个条件就意味着根式是幂幂的[27]。 [^15]: 在那里，人们第一次发现了群、同态和逆环、双模的一般概念，以及著名的“同构定理”（已经包含在阿贝尔的的[33]中） 群）。 Specific cases or corollaries of these had, of course, already appeared long before, for example (for the second isomorphism theorem) in Hölder’s work for finite groups [26], in Dedekind’s work for abelian groups ([14], p. 76–77), and in Wedderburn’s work for two-sided ideals ([51], p. 82–83); as for the first isomorphism theorem, it is for example stated explicitly by Séguier in 1904 ([48], p. 65).