习题 6, § 10

设 A 为阿廷环且$n=$ 长$_A(A_s)$。

a) 证明环 A 是$n$-正则 (习题 5)。

b) 证明环 A 是伪正则的。 （令 $r$ 为整数，使得 $\Re (A)^r= 0$，并令 $m$ 为环 $B = A/\Re (A)$ 的长度。通过简化到环 B 为简单的情况，证明对于每个 $b\in B$，都存在元素 B 的 $y$ 与 $b$ 交换并满足 $b^{m+1}y=b^m$。 推论对于每个 $a\in A$，都存在一个 $x\in A$ 使得 $a^{mr}xa^{mr}=a^{mr}.$)

c) 设 $\mathfrak{I}$ 为 A 的非幂等左理想的集合。证明 $\mathfrak{I}$ 的最小元素是不可分解幂等生成的理想 $Ae$（使用 a) 和习题 5, c)）。证明 A 的每个左理想都是该型的有限多个理想中的直和以及根式中包含的一个左理想。

d) A 的左理想$\mathfrak{a}$ 由幂等生成当且仅当它是有限左理想族$(Ae_i)_{i\in I}$ 的直和，其中$e_i$ 是不可分解的正交幂等。