Exercice 6, § 10

Soient A un anneau artinien, $n=$ long$_A(A_s)$.

a) Démontrer que l’anneau A est $n$-régulier (exerc. 5).

b) Prouver que l’anneau A est pseudo-régulier. (Soient $r$ un entier tel que $\Re (A)^r= 0$, et $m$ la longueur de l’anneau $B = A/\Re (A)$. En se ramenant au cas où l’anneau B est simple, démontrer que pour tout $b\in B$ il existe un élément $y$ de B commutant avec $b$ tel que $b^{m+1}y=b^m$. En déduire que pour tout $a\in A$ il existe $x\in A$ tel que $a^{mr}xa^{mr}=a^{mr}.$)

c) Soit $\mathfrak{I}$ l’ensemble des idéaux à gauche non nilpotents de A. Démontrer que les éléments minimaux de $\mathfrak{I}$ sont les idéaux $Ae$ engendrés par un idempotent indécomposable (utiliser a) et l’exerc. 5 c)). Démontrer que tout idéal à gauche de A est somme directe d’un nombre fini d’idéaux de ce type et d’un idéal à gauche contenu dans le radical.

d) Pour qu’un idéal à gauche $\mathfrak{a}$ de A soit engendré par un élément idempotent, il faut et il suffit qu’il soit somme directe d’une famille finie d’idéaux à gauche $(Ae_i)_{i\in I}$, où les $e_i$ sont des idempotents orthogonaux indécomposables.