习题 1, § 6

设$A,B$为环，P为$(A$，B)-双模，Q为$(B$，A)-双模。令$\varphi :$$P\otimes_BQ\rightarrow A$为$(A$、A)-双模的同态和$(B$、B)-双模满足$\varphi (x\otimes u)y=x\psi (u\otimes y)$和$u\varphi (x\otimes v) =$$\psi (u\otimes x)v$的$\psi : Q\otimes_AP\rightarrow B$同态为P 中的 $x, y$ 和 Q 中的 $u, v$。假设 $\varphi$ 是满射。

a) 证明A-模 P 是生成的。

b) 证明$\varphi$是同构。

c) $(B$ 的构造同构，A)-Q 和 Hom$_B(P,B)$ 之间的双模。