习题 16, § 7

设 A 为环。如果商环 $A/\mathfrak{p}$ 是本原的，则 A 的两侧理想 $\mathfrak{p}$ 称为本原。

a) 证明原始理想是湮没子或单A-模。特别是交换环的原始理想是它的极大理想。

b) 两侧最大理想是原始的；原始理想是素数 (习题 15)。 c) A 的元素 $x$ 是可逆的，当且仅当它的像在 A 的每个商中通过原始理想是可逆的（证明如果是这种情况，$x$ 不包含在任何最大左理想中）。

d) 设$\mathfrak{a}$为A的左理想。证明如果$\mathfrak{a}+\mathfrak{p}= A$对于A的每个原始理想$\mathfrak{p}$，我们有$\mathfrak{a}= A$。

e) 令 M 为有限生成A-模，使得对于 A 的每个原始理想 $\mathfrak{p}$ 都有 $\mathfrak{p}M = M$。证明 M 为零（通过 M 的生成元的最小的数上的归纳，使用 d））。

f) 令 M 为诺特 A-模。证明子模$\mathfrak{a}M$的交，其中$\mathfrak{a}$贯穿原始理想的有限乘积的集合，被减少到0（使用e））。