Exercice 16, § 7

Soit A un anneau. On dit qu’un idéal bilatère $\mathfrak{p}$ de A est primitif si l’anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est primitif.

a) Démontrer que les idéaux primitifs sont les annulateurs des A-modules simples. En particulier, les idéaux primitifs d’un anneau commutatif sont ses idéaux maximaux.

b) Un idéal bilatère maximal est primitif ; un idéal primitif est premier (exerc. 15).

c) Pour qu’un élément $x$ de A soit inversible, il faut et il suffit que son image dans tout quotient de A par un idéal primitif soit inversible (démontrer que s’il en est ainsi, $x$ n’est contenu dans aucun idéal à gauche maximal).

d) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche de A. Si $\mathfrak{a}+\mathfrak{p}= A$ pour tout idéal primitif $\mathfrak{p}$ de A, démontrer qu’on a $\mathfrak{a}= A$.

e) Soit M un A-module de type fini tel que $\mathfrak{p}M = M$ pour tout idéal primitif $\mathfrak{p}$ de A. Prouver que M est nul (raisonner par récurrence sur le plus petit nombre de générateurs de M, en utilisant d)).

f ) Soit M un A-module noethérien. Prouver que l’intersection des sous-modules $\mathfrak{a}M$, où $\mathfrak{a}$ parcourt l’ensemble des produits finis d’idéaux primitifs, est réduite à 0 (utiliser e)).