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简介

这个章致力于研究环的某些类以及模对这些环的研究。这项研究背后有几个基本主题，例如子对象的分类或分解问题或描述以及态射的集合。

我们基本上只在合理的有限性假设下处理这些问题，这就是为什么章以模、诺特和阿廷环的概念开头。

就环而言，我们给出了几个结果来帮助人们理解阿廷环：

a) 阿廷环的雅各布森根式是它的零根 (§10)，相应的商是半单环 (§8)。

b) 半单环同构于简单环 (§7) 的有限族中的乘积。

c) 根据 Wedderburn 的定理 (VIII, p. 120, 定理 1)，简单的环在域上与矩阵代数同构。

直到森田等价（§6），有限次数（即简单的环）的代数由其阿贝尔的群中的类（称为布劳尔群）确定。我们给出了这个群（§15和§16）的几个描述，以及例（§18和§19）。

对于模，我们提供两个自然分解：第一个，在合成列（I, §4, No. 7，p. 41，定义 9）中的项，由Jordan–Hölder提供定理（I, §4, No. 7， p. 43、定理6)。第二个，对应到直和，是在模或有限长度的情况下由Krull–Remak–Schmidt 定理（VIII，p. 37，定理2）给出，在这里，我们从以下结果中推导出来半原始模（VIII、p. 32、

十七

定理 1)。我们还考虑与模相关的不变量，这些不变量对于上面提到的分解具有相加作用；对于这些不变量，§11中描述的格罗滕迪克群是通用问题的解。当我们研究模的结构而不是环时，环同构的概念对我们有利，被森田等价取代。

对于半单模，即单模的直和，模的描述概念（VIII，p. 69，定义5）允许我们描述同态模以及它的子模。

作为说明，在§21中，我们考虑有限群的代数的情况，其模对应到群的线性表示。

历史注记包含在卷的末尾，从上一版本复制而来，追溯了这里开发的概念的数量。