习题 1, § 2

设 $\mathscr{T}$ 为理论，$A_1$、$A_2$、...、$A_n$ 为其显式公理，$a_1$、$a_2$、...、$a_h$ 为其常量。

(a) 设$\mathscr{T}'$为理论，其符号和概形为$\mathscr{T}$的符号和概形，其显式公理为$A_1$、$A_2$、...、$A_{n-1}$。如果 $\mathscr{T}'$ 不等于 $\mathscr{T}$，则称公理 $A_n$ 与 $\mathscr{T}$ 的其他公理“独立”。当且仅当$A_n$不是$\mathscr{T}'$的定理时才会如此。

(b) 令$\mathscr{T}''$为一个理论，其符号和概形与$\mathscr{T}$的符号和概形相同。令 $T_1$, $T_2$, ..., $T_h$ 为 $\mathscr{T}$ 的项，使得

对于$i = 1, 2, \ldots, n-1$来说，是$\mathscr{T}''$的定理，并且“不是$(T_1|a_1)(T_2|a_2) \ \ldots \ (T_h|a_h)A_n$”是$\mathscr{T}''$的定理。那么要么$A_n$独立于$\mathscr{T}$的其他公理，要么$\mathscr{T}''$是矛盾的。