习题 11, § 6

(a) 令 $\mathrm{R}\{x,\ y\}$ 为集合 E 上的自反对称关系。如果对于任意四个 不同 元素 $x$、$y$、$z$、$t$，则称 R 是序* 1 的*不及物E 关系 $\mathrm{R}\{x,\ y\}$、$\mathrm{R}\{x,\ z\}$、$\mathrm{R}\{x,\ t\}$、$\mathrm{R}\{\ y,\ z\}$ 和 $\mathrm{R}\{\ y,\ t\}$ 意味着 $\mathrm{R}\{z,\ t\}$。如果 $\mathrm{R}\{x,\ y\}$ 对于 A 中的所有 $x$ 和 $y$，则 E 的子集 A 被认为相对于关系 R 是“稳定”的。 如果 $a$ 和 $b$ 是 E 的两个不同的元素，使得 $\mathrm{R}\{a,\ b\}$，则证明： 元素 $x \in \mathrm{E}$ 的集合 $\mathrm{C}(a,\ b)$ 使得 $\mathrm{R}\{a,\ x\}$ 和 $\mathrm{R}\{b,\ x\}$ 稳定且

对于不同的元素$x$中的每个对，$\mathrm{C}(a,\ b)$中的$y$。 集合 $\mathrm{C}(a,\ b)$（对于每个有序对 $(a,\ b)$，使得 $\mathrm{R}\{a,\ b\}$）和关于 R 的由单个元素组成的连接组件 (习题 10) 被称为关于关系 R 的 E 的*成分*。 E 包含的两个不同成分中的交至多有一个元素，并且如果A、B、C是三个相互不同的成分，则集合、$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$、$\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$、$\mathrm{C} \cap \mathrm{A}$至少之一为空。

(b) 相反，令 $(\mathrm{X}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ 为 E 的非空子集的集合 E 由……组成的覆盖，并具有以下性质： (1) 如果 $\lambda$、$\mu$ 是两个不同的指标、$\mathrm{X}_\lambda \cap \mathrm{X}_\mu$ 包含最多 1 个元素； (2) 如果$\lambda$、$\mu$、$\nu$是三个不同的指标，则集合、$\mathrm{X}_\lambda \cap \mathrm{X}_\mu$、$\mathrm{X}_\mu \cap \mathrm{X}_\nu$、$\mathrm{X}_\nu \cap \mathrm{X}_\lambda$这三个集合至少其中之一为空。设$\mathrm{R}\{x,\ y\}$为关系“存在$\lambda \in \mathrm{L}$使得$x \in \mathrm{X}_\lambda$和$y \in \mathrm{X}_\lambda$”；证明 R 在 E 上自反，序 1 对称且不及物，并且 $\mathrm{X}_\lambda$ 是 E 相对于 R 的组成部分。

(c) \* 类似地，在 E 上自反且对称的关系 $\mathrm{R}\{x,\ y\}$ 被认为是 序 $n - 3$ 的不及物性，如果对于 E 的不同元素的每个族 $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$，对于每个关系 $\mathrm{R}\{x_i,\ x_j\}$ 对$(i,\ j) \neq (n - 1,\ n)$暗示$\mathrm{R}\{x_{n-1},\ x_n\}$。将 (a) 和 (b) 的结果推广到任意序的不及物关系。证明对于所有 $q > p$，序 $p$ 是不及物的关系也是序 $q$ 的不及物。 \*